Ejercicio nº1 Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 3 000 b) 0,000 000 045 6 c) 5 000 000
Ejercicio nº2
Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado como potencia única:
Ejercicio
nº3 Escribe s radicales
en forma de potencia. Escribe 3 radicales equivalentes 
Ejercicio nº4 Reduce a índice común los siguientes radicales:
Problema nº1
En una competición deportiva participan atletas españoles, franceses, alemanes e ingleses. Del total de atletas 2/5 son españoles, 1/4 franceses y 6/7 del resto son alemanes. ¿Qué fracción del total de atletas son ingleses?
Problema nº2
Un hombre pinta en una hora 1/3 de una valla y otro en el mismo tiempo 2/5. ¿Qué parte de la valla les falta por pintar? Represéntalo en la recta racional.
Problema nº3
Luis desea dividir un listón de madera de 3,40 m para construir el marco de un cuadro que tenga la mayor dimensión posible. ¿Cuál será el área del cuadro por exceso y por defecto con una aproximación de centímetros? ¿Qué clase de número es el resultado?
Problema nº4
Una escalera apoya su extremo superior en una pared a 5 metros de la altura y el extremo inferior dista de la pared 2 metros. ¿Qué longitud tendría la escalera si estuviera tumbada en el suelo? Represéntalo gráficamente utilizando el Teorema de Pitágoras.
Problema nº5
Problema nº6
Problema nº7
Salen 3 automóviles desde un mismo punto. Al cabo de una hora, el primero ha recorrido 1/5 de la distancia y el otro 8/10. El tercer vehículo se encuentra justo en la mitad de los otros dos. ¿Qué distancia habrá recorrido el tercer vehículo? Represéntalo en la recta racional.
Problema nº8
En una caja con forma de ortoedro se han metido cuatro pelotas de tenis de radio 6 cm. La base de la caja es cuadrada pero se desconoce la altura. Calcula las dimensiones de la caja para que tenga altura mínima. ¿Cómo se disponen las pelotas de tenis?
Problema nº9
Dos ciudades están sobre el ecuador, pero en meridianos separados por 16º. ¿Cuál es la distancia que separa a las ciudades?
Problema nº10
Se tiene un cono de altura 7 cm y radio de la base 2 cm. Si se mantiene la altura y se aumenta al doble la base, ¿cuánto ha variado la generatriz del cono?
Ejercicio nº1
Problema nº1
¿Cuál es el mayor valor posible para el área de un rectángulo, si sus lados son números enteros y la suma de sus medidas es 12?
Problema nº2
El lado de un rombo es l, y la diagonal mayor es dos veces la menor. Expresa las diagonales y el área según el lado l, y calcula sus valores cuando l=5.
Problema nº3
Problema nº4
Problema nº5
Problema nº6
Halla "a" para que sea correcta la siguiente igualdad:
Problema nº7
Nos dicen que el cuadrado de cualquier número par es igual al producto del número par anterior por el par posterior al número dado más una cantidad x. ¿Puedes hallar x, y justificar algebraicamente la afirmación anterior? Utiliza la conclusión anterior para hallar el cuadrado de 9.998.
Problema nº8
Problema nº9
Dado el polinomio P(n) = n(n+1)(2n+1), justifica que P(n+1) - P(n) es un múltiplo de 6.
Problema nº10 Halla a y b para que sea correcta la siguiente igualdad:
Ejercicio nº1
Problema nº1
La suma de las edades en años de los cuatro miembros de una familia es 100. Si el padre es 2 años mayor que la madre, y la misma diferencia hay entre la hija mayor y su hermano, que nació cuando su madre tenía 28 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Problema nº2
Problema nº3
Problema nº4 Un triángulo rectángulo tiene un área de 30 unidades cuadradas y la hipotenusa vale 13 unidades. ¿Cuánto miden los catetos?
Problema nº5 Halla un número no nulo, tal, que el cubo de su mitad, sea igual al cuadrado de dicho número menos el cuadrado de su mitad.
Problema nº6
Expresa en forma de ecuaciones con dos incógnitas los siguientes enunciados:
a) En un corral hay gallinas y conejos. El número de patas es 62.
b) En una clase de 32 alumnos un grupo ha elegido como idioma francés y el resto inglés.
Problema nº7 Si dividimos un número de dos cifras por la cifra de las unidades, obtenemos 8 de cociente y 2 de resto. Cambiando el orden de las cifras de dicho número, se obtiene un número 9 unidades mayor. ¿De qué número se trata?
Problema nº8 Divide 64 en dos sumandos, de modo que al dividir el mayor entre el menor se obtenga 3 de cociente y 8 de resto.
Problema nº9
Ejercicio nº1 Efectúa el despiece de los siguientes cuerpos compuestos. Calcula su área y su volumen:
a)
R=4, r=2
b) 
a=10, b=5, c=5, r=2
Problema nº1
Se tiene un terreno triangular sin vallar. ¿En qué punto se debe atar una cuerda para que el círculo descrito por esta no se salga del terreno?
Problema nº2
Problema nº3
Realiza primero la simetría de respecto de la recta r, dibuja después la figura simétrica de la obtenida respecto de la recta s. Repite el proceso primero respecto de s y luego respecto de r. ¿Qué se puede afirmar?
Problema nº4
Problema nº5
Se
quiere realizar un giro que transforme el cuadrado de la figura en un cuadrado
de lado el doble. ¿Es posible?
Problema nº6
Una clase de 3º de ESO mide 8 m de ancho, 9 m de largo y 3 m de alto. Dos moscas están dentro de la clase, ¿a qué distancia máxima se pueden encontrar?
Problema nº7
¿Cuál es el camino de longitud mínima desde A hasta B en la
siguiente figura (sin salirse de la superficie de la misma)? ¿Cuánto mide?
Problema nº8
Se inscribe dentro de un cubo de arista 2 m una pirámide de base cuadrada. ¿Cuál es el volumen que no ocupa la pirámide?
Problema nº9
Calcula
el área y el volumen del siguiente ladrillo.
Problema nº1
Queremos construir un cilindro de 1 m de radio. Expresa la superficie de cartulina que necesitamos en función de la altura del cilindro.
Problema nº2
Problema nº3
Dada la siguiente función, ¿cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esta función?
Problema nº4 El precio del recibo de la luz de una casa es de 30 euros, sabiendo que el recibo tiene una parte fija de 9 euros y que el resto depende del número de kilovatios hora consumidos: ¿Cuál es el precio de cada kilovatio hora si el número de kilovatios hora consumidos ha sido 250?
Problema
nº5
Problema nº6
Problema nº7
Problema nº8
Un balón describe una trayectoria parabólica. Queremos calcular la ecuación de dicha trayectoria y para ello averiguamos los siguientes datos: el balón alcanza su altura máxima a los 10 m de ser lanzado y ésta es de 15 m. Además vuelve a tocar el suelo a 25 m de distancia del punto desde donde se lanzó. Calcula la ecuación de la trayectoria descrita por el balón.
Problema nº9
Problema nº10
SOLUCIONES
Ejercicio nº1 Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 3 000 b) 0,0000000456 c) 5 000 000
Solución 
Ejercicio nº2
Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado como potencia única:
Solución
Ejercicio nº3 Escribe 3 radicales equivalentes a:
Solución 
Ejercicio nº4 Reduce a índice común los siguientes radicales:
Solución
Problema nº1
En una competición deportiva participan atletas españoles, franceses, alemanes e ingleses. Del total de atletas 2/5 son españoles, 1/4 franceses y 6/7 del resto son alemanes. ¿Qué fracción del total de atletas son ingleses?
Solución
Problema nº2
Un hombre pinta en una hora 1/3 de una valla y otro en el mismo tiempo 2/5. ¿Qué parte de la valla les falta por pintar? Represéntalo en la recta racional.
Solución
Sumando lo que pinta cada uno:
Les falta por pintar 4/15 de la valla.
Problema nº3
Luis desea dividir un listón de madera de 3,40 m para construir el marco de un cuadro que tenga la mayor dimensión posible. ¿Cuál será el área del cuadro por exceso y por defecto con una aproximación de centímetros? ¿Qué clase de número es el resultado?
Solución
Problema nº4
Una escalera apoya su extremo superior en una pared a 5 metros de la altura y el extremo inferior dista de la pared 2 metros. ¿Qué longitud tendría la escalera si estuviera tumbada en el suelo? Represéntalo gráficamente utilizando el Teorema de Pitágoras.
Solución
Problema nº5
Solución
La densidad de la población española es :
Problema nº6
Solución
Problema nº7
Salen 3 automóviles desde un mismo punto. Al cabo de una hora, el primero ha recorrido 1/5 de la distancia y el otro 8/10. El tercer vehículo se encuentra justo en la mitad de los otros dos. ¿Qué distancia habrá recorrido el tercer vehículo? Represéntalo en la recta racional.
Solución
El tercer vehículo habrá recorrido:
Problema nº8
En una caja con forma de ortoedro se han metido cuatro pelotas de tenis de radio 6 cm. La base de la caja es cuadrada pero se desconoce la altura. Calcula las dimensiones de la caja para que tenga altura mínima. ¿Cómo se disponen las pelotas de tenis?
Solución
La disposición de las pelotas es la que indica la figura.
Las dimensiones de la caja son 24 cm por 24 cm por 12 cm.
Problema nº9
Dos ciudades están sobre el ecuador, pero en meridianos separados por 16º. ¿Cuál es la distancia que separa a las ciudades?
Solución
La
longitud del ecuador es: 
El
arco correspondiente a 16º: 
Problema nº10
Se tiene un cono de altura 7 cm y radio de la base 2 cm. Si se mantiene la altura y se aumenta al doble la base, ¿cuánto ha variado la generatriz del cono?
Solución
La
generatriz del cono de radio de la base 2 cm es: 
La
generatriz del cono de radio el doble es: 
La
proporción de lo que ha variado es: 
Ejercicio nº1
Solución
Problema nº1 Cuál es el mayor valor posible para el área de un rectángulo, si sus lados son números enteros y la suma de sus medidas es 12?
Solución
Las medidas de dos lados contiguos sumarán 6. Como son enteros los posibles casos son: 1 y 5, 2 y 4 ó 3 y 3. La mayor área corresponde al cuadrado de lado 3.
Problema nº2
El lado de un rombo es l, y la diagonal mayor es dos veces la menor. Expresa las diagonales y el área según el lado l, y calcula sus valores cuando l=5.
Solución
Problema nº3
Solución Planteamos
la condición del enunciado:
S(x) + P(x) = 2(Q(x) - P(x)) Despejando el polinomio pedido: S(x) = 2Q(x) - 3P(x)
Problema nº4
Solución
Problema nº5
Solución
Problema nº6
Halla "a" para que sea correcta la siguiente igualdad:
Solución
Problema nº7 Nos dicen que el cuadrado de cualquier número par es igual al producto del número par anterior por el par posterior al número dado más una cantidad x. ¿Puedes hallar x, y justificar algebraicamente la afirmación anterior? Utiliza la conclusión anterior para hallar el cuadrado de 9.998.
Solución
Problema nº8
Solución
Problema nº9
Dado el polinomio P(n) = n(n+1)(2n+1), justifica que P(n+1) - P(n) es un múltiplo de 6.
Solución
La expresión para P(n+1) es: P(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3).
Y la diferencia que plantea el problema: P(n+1) - P(n) = (n+1)(n+2)(2n+3) - n(n+1)(2n+1)
Es decir, seis veces el cuadrado de un número, luego, es múltiplo de 6.
Problema nº10 Halla a y b para que sea correcta la siguiente igualdad:
Solución
Ejercicio nº1
Solución
Problema nº1
La suma de las edades en años de los cuatro miembros de una familia es 100. Si el padre es 2 años mayor que la madre, y la misma diferencia hay entre la hija mayor y su hermano, que nació cuando su madre tenía 28 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Solución
Problema nº2
Solución
Se trata de una ecuación incompleta de segundo grado, cuyas soluciones se obtienen sacando factor común:
Problema nº3
Solución
Problema nº4
Un triángulo rectángulo tiene un área de 30 unidades cuadradas y la hipotenusa vale 13 unidades. ¿Cuánto miden los catetos?
Solución
Problema nº5
Halla un número no nulo, tal, que el cubo de su mitad, sea igual al cuadrado de dicho número menos el cuadrado de su mitad.
Solución
Problema nº6
Expresa en forma de ecuaciones con dos incógnitas los siguientes enunciados:
a) En un corral hay gallinas y conejos. El número de patas es 62.
b) En una clase de 32 alumnos un grupo ha elegido como idioma francés y el resto inglés.
Solución
a) Sea x el número de gallinas e y el número de conejos: 2x+4y=62.
b) Sea x el número de alumnos que han elegido francés, e y el número de alumnos que han elegido inglés: x+y=32.
Problema nº7
Si dividimos un número de dos cifras por la cifra de las unidades, obtenemos 8 de cociente y 2 de resto. Cambiando el orden de las cifras de dicho número, se obtiene un número 9 unidades mayor. ¿De qué número se trata?
Solución
Problema nº8
Divide 64 en dos sumandos, de modo que al dividir el mayor entre el menor se obtenga 3 de cociente y 8 de resto.
Solución
Representamos con x el mayor de los sumandos (dividendo), el otro será 64 - x.
El planteamiento se obtiene de la ley de la división: Dividendo = Cociente · divisor + resto: x = 3(64-x) + 8
Problema nº9
Solución
Ejercicio nº1 Efectúa el despiece de los siguientes cuerpos compuestos:
a)
b)
Solución a) Un cilindro menos un cono.
b) Un paralelepípedo menos un semicilindro.
Problema nº1
Se tiene un terreno triangular sin vallar. ¿En qué punto se debe atar una cuerda para que el círculo descrito por esta no se salga del terreno?
Solución
En el punto que equidiste de los lados: el incentro.
Problema nº2
Solución
Si
el polígono tiene 
lados, la suma de sus ángulos es:
Problema nº3
Realiza primero la simetría de respecto de la recta r, dibuja después la figura simétrica de la obtenida respecto de la recta s. Repite el proceso primero respecto de s y luego respecto de r. ¿Qué se puede afirmar?
Solución
Primero respecto de r y luego de s:
Primero respecto de s y luego de r:
Se puede afirmar que la composición de simetrías no es conmutativa en general.
Problema nº4
Solución
Problema nº5
Se quiere realizar un giro que transforme el cuadrado de la figura en un cuadrado de lado el doble. ¿Es posible?
Solución
No es posible pues los giros conservan distancias.
Problema nº6
Una clase de 3º de ESO mide 8 m de ancho, 9 m de largo y 3 m de alto. Dos moscas están dentro de la clase, ¿a qué distancia máxima se pueden encontrar?
Solución
La distancia máxima es la diagonal de la clase, y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la tres dimensiones.
Problema nº7
¿Cuál es el camino de longitud mínima desde A hasta B en la siguiente figura (sin salirse de la superficie de la misma)? ¿Cuánto mide?
Solución
Al desarrollar el cilindro se obtiene un rectángulo. El camino de longitud mínima es la línea recta que une A con B.
Problema nº8
Se inscribe dentro de un cubo de arista 2 m una pirámide de base cuadrada. ¿Cuál es el volumen que no ocupa la pirámide?
Solución
Volumen
del cubo: 
Volumen
de la pirámide: 
La diferencia de volumen es: 
Problema nº9
Calcula el área y el volumen del siguiente ladrillo.
Solución
El volumen:
El área:
Problema nº1
Queremos
construir un cilindro de 1 m de radio. Expresa la superficie de cartulina
que necesitamos en función de la altura del cilindro.
Solución
Problema nº2
Solución
Problema nº3
Dada
la siguiente función, ¿cuáles son los intervalos
de crecimiento y de decrecimiento de esta función?
Solución
Problema nº4
Solución
Problema nº5
El precio del recibo de la luz de una casa es de 30 euros, sabiendo que el recibo tiene una parte fija de 9 euros y que el resto depende del número de kilovatios hora consumidos: ¿Cuál es el precio de cada kilovatio hora si el número de kilovatios hora consumidos ha sido 250?
Solución
Problema nº6
Solución
El punto de intersección de las rectas dadas es (-2, -3) , con lo cual la ecuación de la recta pedida será:
Problema nº7
Solución
El punto más alto es el vértice de la parábola, por tanto, la altura máxima será la ordenada del vértice que es 5 m, es decir 2,5 metros. El alcance máximo será la ordenada distinta de cero de los puntos de corte de la parábola con y = 0, es decir, 10 m.
Problema nº8
Un balón describe una trayectoria parabólica. Queremos calcular la ecuación de dicha trayectoria y para ello averiguamos los siguientes datos: el balón alcanza su altura máxima a los 10 m de ser lanzado y ésta es de 15 m. Además vuelve a tocar el suelo a 25 m de distancia del punto desde donde se lanzó. Calcula la ecuación de la trayectoria descrita por el balón.
Solución
Problema nº9
Solución
Los puntos de intersección son (0, 0) y (1, 1), por tanto el rectángulo es en realidad un cuadrado de lado 1, con área 1 unidad cuadrada.
Problema nº10
Solución
