DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

2. TANGENTE DE UN ÁNGULO.

2.1. Hablemos de medición de alturas. Extiende uno de tus brazos, sitúa el dedo pulgar de manera que quede perpendicular a la línea que une tu ojo con la base del dedo. En esta posición uno de tus compañeros debe medir la distancia desde tu ojo a la base de tu pulgar y la altura de éste. Construye un triángulo rectángulo con los datos y mide el ángulo bajo el cuál ves tu pulgar. A continuación, prolonga la línea de la visual del pulgar, y también la de tu brazo, y traza una paralela al pulgar por el punto que quieras. Traza alguna paralela más. En los distintos triángulos rectángulos obtenidos mide las alturas y las bases, y forma un cuadro como el siguiente:

2.2. Con las medidas que cada uno lleva consigo se puede calcular la altura de un objeto. Observa esta figura. Te ayudará a calcular la altura del árbol. Explica razonadamente el proceso. Pónlo en práctica con algún árbol, edificio o cualquier otro objeto del paisaje.

2.3. ¿Cómo midió Tales la altura de la pirámide?.

Cuentan varios autores clásicos que Tales clavó su bastón en el suelo y mandó a los sacerdotes que midieran, al mismo tiempo, las longitudes de la sombra del bastón y la de la pirámide. Supongamos que el bastón medía 1 metro, su sombra medía 1,5 metros y la sombra de la pirámide medía 105 metros. Tales se dió cuenta que las sombras eran proporcionales a las alturas. Midió también el lado de la pirámide.

¿Cómo crees que calculó la altura?. Inténtalo tú con sus mismos datos.

2.4. Un grupo de amigos decide calcular las alturas de todos los árboles de una plantación, comparando su sombra con la de un poste cuya altura se conoce. Tienen la intención de aplicar la siguiente regla:

Así, para calcular su altura, bastará multiplicar la sombra de cada árbol por la constante a / b, obtenida con el poste. ¿Es válido ese método?. ¿Qué papel juega a / b entre los dos catetos del triángulo tomado como referencia?.

2.5. Supongamos que el poste mide 0,75 metros y su sombra mide 1,20 metros. ¿Cuál es la constante en este caso?. Si la sombra de un árbol es de 4,63 metros, ¿cuál es su altura?.

2.6. Al seguir con sus mediciones nuestros amigos se llevan una sorpresa: la sombra del poste ha variado y ya no sirven los cálculos anteriores. ¿Por qué?. ¿De qué depende la sombra?. ¿Varía acaso la caída de los rayos del Sol?. ¿De qué depende el ángulo a que forman los rayos del Sol con el horizonte?.

2.7. A la constante a / b, que sólo depende del ángulo, se dice , y se designa por .

2.8. Veamos ahora cómo obtener en el cuaderno el valor de la tangente de un ángulo determinado, por ejemplo del de 34º. Con un transportador de ángulos se construye un ángulo de 34º. Traza desde un punto cualquiera de un lado una perpendicular al otro lado. Puedes trazar BC o B'C'. Por semejanza se sabe que se cumple la siguiente relación, compruébalo tú midiendo sobre el dibujo que has hecho.

Aprovecha la construcción anterior para calcular el valor de tg 56º de dos formas distintas, pues 56º es el otro ángulo agudo. ¿Qué relación hay entre la tangente de ángulos complementarios?.

 

2.9. Pero hoy en día no son necesarias tantas mediciones, porque el valor de tg 34º y de tg 56º nos lo va a proporcionar cómoda y rápidamente nuestra calculadora científica, bien la de mano o bien la que tienes en tu ordenador, en el menú de Accesorios. Tienes que tenerla configurada en grados sexagesimales. Normalmente aparecerá en pantalla el rótulo DEG. Teclea para obtener esos dos valores y verás cómo se parecen a los que tú has obtenido con el dibujo que has hecho anteriormente.

 
Ahora pulsa aquí para ir a la página de ejercicios de la tangente. Veremos cómo te va.